Integral definida

El considerable progreso habido en la ciencia y en la técnica durante los últimos cien años procede, en gran parte, del desarrollo de las matemáticas. La rama de las matemáticas conocida por Cálculo integral y diferencial es un instrumento poderoso para resolver problemas que surgen en la Física, Astronomía, Ingeniería, Química, Geología, etc...

El Cálculo no sólo es un instrumento técnico, sino que contiene una colección de ideas fascinadoras y atrayentes que han ocupado el pensamiento humano durante siglos. Estas ideas están relacionadas con velocidad, área, volumen, razón de crecimiento, tangente a una línea, etc.

Esta disciplina surgió de la necesidad de una herramienta que permitiera abordar los problemas que preocupaba a la ciencia en el siglo XVII, y que podemos englobar en dos grandes grupos:

• El primer grupo incluye problemas físicos, en especial los relacionados con el cálculo de velocidades en un movimiento, junto a problemas geométricos de determinación de tangentes, máximos y mínimos, etc. Este conjunto de problemas condujo a una rama del Cálculo que recibe el nombre de Cálculo diferencial.
• El segundo grupo abarca una serie de problemas físicos asociados al cálculo del espacio recorrido en un movimiento, así como problemas geométricos de obtención del área de una figura curvilínea. Este conjunto de problemas llevó a otra rama del Cálculo llamada Cálculo integral.

El origen del Cálculo integral se remonta a más de 2000 años, cuando los griegos intentaban resolver el problema del área ideando el procedimiento que llamaron método de exhaución.

Las ideas fundamentales de este método son: dada una región cuya área quiere determinarse, se inscribe en ella una región poligonal que se aproxime a la dada y cuya área sea fácil de calcular. Luego se elige otra región poligonal que de una aproximación mejor, y se continúa el proceso tomando polígonos con mayor número de lados cada vez tendiendo a llenar la región dada.

Este método fue usado por Arquímedes (287 a.C.-212 a.C.), para hallar fórmulas exactas del área del círculo y de algunas otras figuras como la del segmento parabólico.

Desde Arquímedes el desarrollo del método de exhaución tuvo que esperar casi 18 siglos, hasta que el uso de símbolos y técnicas algebraicas se hizo preciso en los estudios matemáticos. Un cambio lento en el desarrollo de las notaciones matemáticas comenzó en el siglo XVI. El sistema de numeración romano fue desplazado por los caracteres arábigos utilizados hoy día; los signos + y - fueron introducidos por primera vez, y se empezaron a reconocer las ventajas del sistema decimal. Durante este periodo los matemáticos Tartaglia, Cardano y Ferrari obtuvieron resultados brillantes y dieron solución algebraica a las ecuaciones cúbica y cuártica. Esto estimuló el desarrollo de las matemáticas y animó a la aceptación del lenguaje algebraico. Con la introducción de los símbolos algebraicos revivió el interés por el antiguo método de exhaución, y en los siglos XVI y XVII algunos matemáticos como  Kepler, Cavalieri, Torricelli, Fermat, Pascal, Walis y Barrow obtuvieron resultados parciales. Estudiaron la determinación de tangentes a una curva, los problemas de máximos y mínimos, la determinación de cuadraturas y centros de gravedad, longitudes de curvas, volúmenes de revolución, etc. 

Barrow, profesor de Newton,  fue el primero que se dio cuenta de que el problema de la tangente y el problema del área eran inversos.

Gradualmente el método de exhaución fue transformándose en lo que hoy se conoce como Cálculo Integral.  Éste recibió su mayor impulso en el siglo XVII debido sobre todo a los esfuerzos de Newton y Leibnitz.

Newton reunión en su obra Methodos fluxionum et serierum infinitorum sus contribuciones al cálculo, y aunque este tratado era conocido en ambientes científicos, no se publicó hasta diez años después de su muerte. Su obra fundamental fue Philosophiae naturalis principia mathemática publicada en 1687. Esta obra constituye uno de los hitos fundamentales de la historia de la ciencia y, en ella, se establecen los conceptos de masa, fuerza y cantidad de movimiento, además de los tres axiomas de movimiento y una ley de gravitación universal.

Al contrario de Newton, Leibnitz se apresuró a difundir en la revista Acta Eruditorum en 1684 su versión de los principios fundamentales del cálculo. Inmediatamente después de esta publicación, fue acusado de plagio y comenzó una agria polémica, entre los matemáticos del continente europeo y los ingleses, sobre la primacía de los descubrimientos que duró varias décadas y que perjudicaron en gran medida al avance del cálculo. Hoy en día se atribuye la paternidad del cálculo a ambos científicos, se considera que el cálculo de Newton es mucho más profundo que el de Leibnitz, mientras que las notaciones utilizadas por Leibnitz son mucho más claras que las de Newton.

En el siglo XVIII, Euler publica su obra Introducción al análisis infinitesimal, que fue decisiva para la fundamentación posterior de esta parte de las matemáticas. En ella Euler introduce la idea de función y fue el primero en utilizar el símbolo y=f(x) para denotar una función.

El Cálculo integral tuvo un desarrollo continuo durante los siglos XVIII y XIX hasta que Cauchy y Riemann le dieron una base matemática firme.

Cauchy que había formulado de forma satisfactoria el concepto de límite de una función, de función continua y de derivada, prescinde del proceso inverso de la diferenciación para definir la integral. Lo consigue demostrando la relación entre integral y primitiva (antiderivada) al generalizar el teorema del valor medio de Lagrange. Después define la integral definida como límite de una suma. La obra fundamental de Cauchy fue Cours D´Analyse de L´Ecole Royale Polytechnique publicada en 1821, que contiene el Cálculo infinitesimal cimentado en el concepto de límite.

Riemann definió las condiciones necesarias y suficientes para que una función sea integrable, de aquí que se conozca con el nombre de integral de Riemann el concepto de integral definida.

Más adelante, hacia la segunda mitad del siglo XIX, surgió una profunda crisis acerca de los fundamentos del Cálculo. Los poderosos métodos de cálculo que se habían desarrollado hasta ese momento pasaron a ser vistos con grandes reservas. Se inició entonces una ardua tarea de sistematización del Cálculo. Este proceso fue llevado a acabo entre otros por Weierstrass, Markov, Liapunov, Poincaré, Klein y Hilbert.

A finales del siglo XIX comenzó a desarrollarse, de la mano de Jordan y Borel entre otros, una teoría nueva, la Teoría de la Medida, y en ella se inspiraría Lebesgue para crear su revolucionaria integral, que fue considerada como la versión definitiva de la vieja idea. El mismo Lebesgue aplicaría su integral a las series de funciones trigonométricas o series de Fourier.

A continuación tenéis una presentación en la que se explica el conecpto de integral definida, sus propiedades, teoremas y aplicaciones al calculo de áreas.